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ove g è un segmento che ha per limite zero col tendere di P' a
u = 2
P. Il prodotto del membro di destra è un prodotto geometrico;
quindi se fosse e = 0, ovvero se si trascura e che ha per limite zero,
AU si riduce al solo termine PP' X u > e quindi l’incremento della
* stesso
funzione U è eguale alla grandezza di u moltiplicata per la proie
zione di PP' sulla direzione di u. ^ nu
Eseguendo il prodotto indicato, si ha g
AU = PP' X» + «, P, a v
ove si è posto a = PP'X<T, e quindi, se U ha per derivata u, il
numero a è infinitesimo d’ordine superiore al primo, ove si prenda ha p<
la lunghezza di PP' per infinitesimo principale. Reciprocamente,
se AU si può mettere sotto la forma PF X u -f- a, ove a sia infi
nitesimo d’ordine superiore al primo, U ha per derivata u; invero, cioè
se si determina il segmento è che abbia la stessa direzione di PP' delle
e tale che a = PP' X e = gr PP' Y^gr e , si avrà AU = PP' X Inv<
(u -(- e), e poiché #re — - ^ ha per limite zero, anche e è infi
nitesimo, e quindi U ha per derivata u. e, per
3. Sia per esempio U = a X OP, ove a e 0 sono un segmento ed
un punto fissi. Sarà U funzione del punto P. Dato a questo punto
una nuova posizione P', sarà
AU = a X OP' — a X OP = PP' X a , ovver<
e quindi AU si presenta sotto la forma PP' X (a +e), ove si faccia
u = a, ed e = 0. Dunque a è la derivata di a X OP. si ha
Si consideri ancora la funzione numerica U = OP 2 , ove 0 è una
origine fissa. Data a P una nuova posizione P', sarà OP' = OP -j- PP'.
Elevando a quadrato si ha OP 2 = OP 2 -f- 2ÜP X PP r + PP*- Quindi *
AU = 0F a — OF 2 = 20P X PP ; + PP 75 , che si può scrivere ^ n 1
dotti, (
AU = PP ' X (20P + PP'). sono (
Perciò AU si presenta sotto la forma PP' X ( u + e), ove si faccia 4 r.