Full text: Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale

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ove g è un segmento che ha per limite zero col tendere di P' a 
u = 2 
P. Il prodotto del membro di destra è un prodotto geometrico; 
quindi se fosse e = 0, ovvero se si trascura e che ha per limite zero, 
AU si riduce al solo termine PP' X u > e quindi l’incremento della 
* stesso 
funzione U è eguale alla grandezza di u moltiplicata per la proie 
zione di PP' sulla direzione di u. ^ nu 
Eseguendo il prodotto indicato, si ha g 
AU = PP' X» + «, P, a v 
ove si è posto a = PP'X<T, e quindi, se U ha per derivata u, il 
numero a è infinitesimo d’ordine superiore al primo, ove si prenda ha p< 
la lunghezza di PP' per infinitesimo principale. Reciprocamente, 
se AU si può mettere sotto la forma PF X u -f- a, ove a sia infi 
nitesimo d’ordine superiore al primo, U ha per derivata u; invero, cioè 
se si determina il segmento è che abbia la stessa direzione di PP' delle 
e tale che a = PP' X e = gr PP' Y^gr e , si avrà AU = PP' X Inv< 
(u -(- e), e poiché #re — - ^ ha per limite zero, anche e è infi 
nitesimo, e quindi U ha per derivata u. e, per 
3. Sia per esempio U = a X OP, ove a e 0 sono un segmento ed 
un punto fissi. Sarà U funzione del punto P. Dato a questo punto 
una nuova posizione P', sarà 
AU = a X OP' — a X OP = PP' X a , ovver< 
e quindi AU si presenta sotto la forma PP' X (a +e), ove si faccia 
u = a, ed e = 0. Dunque a è la derivata di a X OP. si ha 
Si consideri ancora la funzione numerica U = OP 2 , ove 0 è una 
origine fissa. Data a P una nuova posizione P', sarà OP' = OP -j- PP'. 
Elevando a quadrato si ha OP 2 = OP 2 -f- 2ÜP X PP r + PP*- Quindi * 
AU = 0F a — OF 2 = 20P X PP ; + PP 75 , che si può scrivere ^ n 1 
dotti, ( 
AU = PP ' X (20P + PP'). sono ( 
Perciò AU si presenta sotto la forma PP' X ( u + e), ove si faccia 4 r.
	        
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