— 158 — 
semiassi sono a e b = a cosa; e poiché l’area del cerchio vale rm 2 , 
l’area dell’ellisse vale Tra 4 cosa — nab; ossia l’area d’un ellisse 
è eguale all’area del cerchio il cui raggio sia la media 
geometrica fra i semiassi della ellisse. 
In modo analogo si dimostra che in due figure piane simili le 
aree (esterne, o interne, o proprie) stanno come i quadrati dei lati 
omologhi. 
5. Volumi. Abbiasi un campo di punti nello spazio. Un punto si 
dirà interno al campo se esiste una sfera di centro il punto con 
siderato, tale che tutti i punti interni ad essa appartengano al campo. 
Se invece esiste una sfera di centro il punto considerato e di cui 
tutti i punti non appartengono al campo, questo punto si dirà esterno. 
Un punto nè interno nè esterno si dirà punto limite. I punti li 
miti formano un campo, che dicesi campo limite, o contorno del 
campo dato. 
Dato un campo A, potremo in generale immaginare dei solidi 
formati da prismi (e che diremo solidi prismatici), i quali contengano 
nel loro interno A, e dei solidi pure prismatici, interni ad A. Se il 
limite inferiore dei volumi dei primi solidi coincide col limite supe 
riore dei volumi dei secondi, al loro valore comune si darà il nome 
di volume del campo dato ; e si dirà anche che il campo dato ha un 
volume paragonabile coi volumi di prismi. 
Ma se questi volumi non coincidono, chiameremo volume esterno 
del campo il limite inferiore dei volumi dei solidi prismatici con 
tenenti il campo dato, e chiameremo volume interno il limite su 
periore dei volumi contenuti nell’interno di esso campo. Potrebbe 
avvenire che non esista alcun solido prismatico contenente il campo 
dato, e allora si dirà che il volume esterno di quel campo è infi 
nito; e se nessun solido è contenuto nel campo, si dirà che il suo 
volume interno è nullo. 
Se da un solido composto di prismi, contenente nel suo interno 
il campo A, si toglie un solido analogo contenuto in A, si avrà un 
nuovo solido che contiene i punti limiti di A, e il cui volume è la 
differenza dei volumi dei due solidi precedenti. Se questa differenza