spondenti di y ed x differisca dal suo limite meno di e, cioè sia
compreso fra p -f- e e p — e.
Sia ora P' un punto che dista,da P meno di r, e sia r' < r —
¿7rPP\ Sia AA un campo di punti che distano da P' meno di r' ;
com-
xj ( A A )
Ma, col tendere di r' a zero, il rapporto , A [■ tende verso il li
mite p (P') = p'; e poiché quel rapporto è compreso fra p-fe e
p — e, anche il suo limite p' sarà compreso entro le stesse quantità,
e quindi la differenza p' — p è minore di e. Pertanto, fissato piccolo
ad arbitrio un numero e, si potè determinare una lunghezza r tale
che il valore di p corrispondente ad un punto qualunque P', che
dista dal punto fisso P meno di r, differisca dal valore di p corri
spondente al punto P meno di e; quindi p è funzione continua del
punto P.
§ 3. Applicazioni.
15. Ecco alcune applicazioni delle proposizioni che precedono.
Se, in un piano fisso, da ogni punto M d’una retta AB, si con
ducono, normalmente ad AB, e sempre da una 'stessa parte di
essa, due rette MN e MP, la prima costante in lunghezza, e l’altra
la cui lunghezza, variabile con M, sia funzione continua di M ; allora,
se M percorre un segmento su AB, la retta MN genera un rettan
golo di area A#, e la retta MP genera una figura, di area (esterna
od interna) Ay; Ax e Ay saranno evidentemente funzioni distri
butive del campo descritto da M. Dico che, per ogni posizione di M,
il rapporto fra le due aree descritte da MP e MN, ossia il limite
A y
del rapporto ove tutti i punti del campo descritto da M si av
vicinino ad un punto fìsso, vale il rapporto delle lunghezze delle