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il segmento AB, o una sua parte qualunque, ha un’area propria, 
ossia il limite superiore delle aree dei poligoni interni ad essa è 
eguale al limite inferiore delle aree dei poligoni che la contengono 
nel suo interno. Invero, nelle ipotesi fatte, l’area esterna e l’area 
interna hanno, in ogni punto M di AB, coll’area Aa? rapporti eguali, 
e quindi sono eguali. 
~b) Se, nel piano fìsso, da ogni punto M della retta AB si con 
ducono normalmente ad AB due rette MN ed MP, variabili amendue 
in lunghezza, e funzioni continue di M, il rapporto delle aree de 
scritte dalle due rette sarà, in ogni punto M, eguale al rapporto 
delle lunghezze delle rette mobili. 
c) Se, nel piano fisso, da ogni punto M di AB si conducono, 
normalmente ad AB, una retta MN funzione continua di M, ed 
MP 
una seconda retta MP tale che il rapporto ^ sia costante, anche 
le aree descritte da MP e MN, mentre M percorre un campo qua 
lunque, hanno fra loro questo rapporto costante. 
d) Se, nel piano, da ogni punto M di AB si conducono, normal 
mente ad AB, due rette MN, MP, le cui lunghezze variino conti 
nuamente con M, ed una terza retta MQ eguale in lunghezza alla 
somma, o differenza, delle MN e MP, anche l’area descritta da MQ 
è la somma, o differenza, delle aree descritte da MN e MP. 
e) Cambiando lettere, e detto u il numero che misura l’area 
descritta da MP, x il numero che misura la lunghezza del campo 
descritto da M, e y la lunghezza variabile MP, supposto ancora di 
prendere la lunghezza costante MN per unità di misura, la formula 
precedente si può scrivere 
^= y, ovvero du = ydx. 
16. In modo analogo al precedente si dimostrano queste altre 
proposizioni : 
I o Se, in un piano fisso, da ogni punto M d’una retta AB, si con 
ducono, parallelamente ad una retta data OY, due rette MN e MP, 
la prima costante in lunghezza, e l’altra variabile continuamente