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con M, il rapporto fra l’area descritta dalla retta MP, all’area de 
scritta da MN, è eguale al rapporto delle rette MP e MN che le 
descrivono. 
Detto u il numero che misura l’area descritta da MP, x il nu 
mero che misura il campo descritto da M, e uu l’angolo della retta 
AB colla OY, il rapporto fra l’area p del parallelogrammo descritto 
da MN e la lunghezza del campo descritto da M vale MNsenuu; 
quindi 
dw _dudp_ MP _ MPsenoi, 
dx dp dx MN ’ 
ovvero, anche, chiamando y la lunghezza di MP: 
du 
j-—V sen uu, du — y sen w dx. 
2° Se da ogni punto M duna figura piana fissa si conducono, nor 
malmente a questo piano, e sempre da una stessa parte, due rette 
MN e MP, la prima costante in lunghezza, e la seconda variabile 
continuamente con M, il rapporto ira i volumi descritti dalle rette 
MP e MN, mentre il punto M descrive nel piano un campo parte 
della figura data, vale, in ogni punto M, il rapporto delle rette MP 
e MN che li descrivono. Detto v il volume descritto da MP, e v' 
quello descritto da MN, sarà quindi ^ ~ M . 
Se supponiamo che dv e dv' siano i numeri che misurano questi 
volumi, detto uu il numero che misura l’area piana descritta da M, 
il volume del cilindro v' è eguale all’area base uu moltiplicata per 
l’altezza MN ; quindi £ft/=MN<2uu ; sostituendo si ricava dv = MPrfuu, 
ovvero anche, fatto MP=:~ : 
dv = zdw. 
3° Se da ogni punto M d’un arco di cerchio AB si conduce il raggio 
OM, e si porta su esso a partire dal centro 0 un segmento OP la