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si può scomporre in due parti, l’una formata dai punti appartenenti 
a AF, e che diremo AC*, e l’altra, AC 2 , formata dai punti appar 
tenenti a AF'. Quindi si avrà AS = AQ -J- AC* -f- AC 2 -f- AQ' ; 
AQ + AC* = AF, AC 2 + AQ' = AF', AC = AC* -f AC 2 . 
Pertanto la figura AF comprende il prisma AQ, ed è compresa 
nel prisma AQ -\- AC, e il suo volume (esterno od interno) è 
compreso fra i volumi di AQ e di AQ + AC. Ora, poiché i volumi 
di due prismi aventi le stesse altezze stanno come le basi, si ha : 
voi AQ area q voi AQ -f- voi AC area q + area c < 
voi AP area^p’ voi AP 
area p 
quindi 
Ma si ha pure area q < area f < area q -f- area c ; quindi 
; e poiché l’area di c si 
può supporre piccola ad arbitrio, si conchiude 
,. voi AF area f 
àm— r - r 5 = • 
voi AP area p 
Se indichiamo con v il numero che misura il volume di F, e 
supponiamo che il poligono p, base del prisma P, sia il quadrato 
costrutto sull’unità di lunghezza, detta x la lunghezza del cammino 
descritto da M, e fatto in = area f, il numero che misura il volume 
AP è A#; quindi — in, ossia dv= wdx. 
Ecco alcune conseguenze della proposizione che precede: 
a) Se ogni piano TT incontra il campo limite di F secondo una 
figura piana di area nulla, allora i rapporti dei volumi esterno ed 
interno della figura descritta da f al volume descritto da p, sono 
eguali in ogni punto M di OX; quindi i volumi esterno ed interno 
della figura descritta da F mentre M percorre un segmento finito 
qualunque, sono eguali, e quella figura ha un volume proprio.