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19. Sia AB un arco curvilineo continuo, e A'B' la sua proiezione 
ortogonale su d’una retta. Supporremo che ogni punto di A'B' sia la 
proiezione d’un sol punto di AB; che la curva abbia in ogni suo 
punto una tangente, la quale si possa considerare come il limite della 
congiungente due punti della linea, che si avvicinano al punto dato; 
e che l’angolo che questa tangente fa con A'B' non sia mai nullo. 
Ad ogni arco parte di AB corrisponde la sua proiezione, parte di 
A’B', e viceversa; la lunghezza s dell’arco e la lunghezza x della 
sua proiezione sono grandezze coesistenti. Dico che, in ogni punto P 
di AB, il rapporto fra la lunghezza dell’arco e la lunghezza della 
sua proiezione è eguale al coseno dell’angolo che la tangente alla 
curva in P fa colla retta A'B'. 
Infatti, preso un arco As nelle vicinanze del punto P, e detta c 
la sua corda, e Ax la proiezione su A'B' sia dell’arco che della 
corda, sarà 
Ax Ax c 
A s c As' 
Ora, per le ipotesi fatte (N. 7), lìm ^ = 1 ; il rapporto — vale 
il coseno dell’angolo che la corda c fa colla sua proiezione, ed ha 
per limite il coseno dell’angolo che la tangente in P fa con A'B'. 
Quindi, detto 0 quell’angolo, si conchiude 
7 . Ax dx dx 
lim costi, dx = cos9 ds, ds — —. 
As ds ’ cose 
Si deduce da questa formula che, se in tutti i punti dell’arco AB 
l’angolo 0 è compreso fra 0 O e 0,, il rapporto fra l’arco finito AB, 
e la sua proiezione è compreso fra —- e —-. In particolare, se 
l’angolo 0 è costante, come avviene p. e. nell’elica ove la si proietti 
sul suo asse, il rapporto fra un arco finito e la sua proiezione ha 
il valore costante . 
cose