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20. Sia A una superficie qualunque, e B la sua proiezione orto 
gonale su d’un piano ; supporremo che ogni punto di B sia la pro 
iezione d’un sol punto di A. Ad ogni parte di A corrisponde una 
parte di B e viceversa, e le aree della figura che si proietta e 
della sua proiezione sono grandezze coesistenti. Dico che, se in un 
punto P di A la superficie ha un piano tangente, e l’angolo che 
ogni retta che unisce due punti della superficie fa con quel piano 
ha per limite zero, ove i due punti tendano al punto P, allora, 
nel punto P, il rapporto fra l’area proiezione e l’area che si proietta 
vale il coseno dell’angolo X che il piano tangente in P fa col piano 
su cui si proietta. 
Infatti, sia a una porzione di superficie situata nelle vicinanze del 
punto P, e tale che l’angolo che una retta qualunque che unisce 
due punti di a fa col piano tangente in P sia minore e. Sia p la 
proiezione di a su TT. Si proietti ortogonalmente a su d’un nuovo 
piano TT', e sia p' la nuova figura così ottenuta. 
Se il piano TT' fosse parallelo a TT sarebbe l’area P' = p. 
Se TT' non è parallelo a TT, sia OX la loro intersezione. Si imma 
gini un sistema di piani normali ad OX. Uno di essi incontra a se 
condo una linea s, e incontra P e P' secondo due rette finite h ed h’, 
che sono le proiezioni di s. Detta k la corda di s, sarà h — k cos(hk), 
h r = kcos(kh'), e quindi h r = h ™^khy Ma ^S 010 ^ è minore 
della somma dell’angolo che k fa col piano tangente in P, e del 
l’angolo X che questo piano tangente fa con TT ; quindi kh < ee 
h’<—y~—rr. Ora, variando il punto di OX da cui si conduce il 
cos(e + X) 
piano normale ad OX, le rette fi e h' descrivono le aree piane p 
l 
e P f , e quindi sarà anche p' < p cQg ^ — 
Pertanto, se si proietta l’area a su d’un piano qualunque, o, ciò 
che fa lo stesso, se si sposta nello spazio in modo qualunque la 
figura a, e poi la si proietta su d’un piano fisso, p. e. TT, si avrà 
per proiezione un area minore di 
Si decomponga ora l’area a in parti a = a* -J- <x 9 + a«, e