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4. Integrali estesi a campi.
21. Sia x una grandezza, funzione distributiva d’ un campo, e che
assume soli valori positivi. Ad ogni punto dei campi considerati corri
sponda un numero p, che può variare col punto. Dicesi integrale
di pdx esteso al campo A una grandezza tale che:
1° sia sempre maggiore del risultato che si ottiene
decomponendo il campo A in parti, in modo qualunque,
moltiplicando il valore dia? corrispondente ad ognuna
di queste parti per un numero minore di tutti i va
lori assunti da p in questo campo parziale, e som
mando questi prodotti; 2° sia minore della somma
dei prodotti dei valori di x corrispondenti alle parti
di A per numeri rispettivamente maggiori di quelli
assunti da p nelle parti stesse; 3° e che sia l’unica
grandezza che goda di queste proprietà.
Indicheremo l’integrale di pdx esteso al campo A colla scrittura
j A pdx. Pertanto con j \ pdx intendiamo una grandezza (omogenea
con x) tale che, decomposto il campo A in parti in modo qualunque
A = A i +A 2 A„, indicando con ^(AJ, a?(A 3 ) ...x(A n ) i va
lori corrispondenti di x, e detti p/ p 2 '... p„' e p/' p 2 "... p n " dei
numeri, i primi minori e gli altri maggiori dei valori assunti da
P in quei campi parziali, siano sempre soddisfatte le disuguaglianze
j A p dx > p/ a?(A.) + p 2 r x(k 2 ) + ... + p n ' x(A n )
% Ìa P dx < p/ r .^(AJ -j- p 2 " ¿r(A 2 ) -f-... -f- p n " x (A n ),
qualunque sia la legge di divisione del campo A, e comunque si
prendano i valori di p\ e p'\- purché P'» sia minore dei valori as-