— 187 — 
Ma se il limite superiore delle s' è minore del limite inferiore 
delle s", allora questi due limiti, ed ogni quantità compresa fra essi, 
è maggiore delle s r è minore delle s" ; e non si può più parlare di 
integrale nel senso precedentemente definito. Però a questi limiti 
daremo dei nomi; chiameremo integrale inferiore di p dx, e in 
dicheremo con | 4 p dx, il limite superiore dei valori di s', e chia 
meremo integrale superiore di p dx, e indicheremo con j A P dx, 
il limite inferiore dei valori di s". 
Potrebbe anche avvenire che non esistano valori finiti p' e P" 
entro cui siano compresi i valori di p; anche in questo caso 
non si può parlare di integrale propriamente detto, ma potrà 
ancora presentarsi uno dei due integrali, inferiore o superiore, o 
nessuno. 
23. Teorema I. — L’integrale di Pdx (proprio, o supe 
riore, o inferiore) esteso ad un campo somma di più 
campi è eguale alla somma degli integrali di Pdx estesi 
a questi campi. 
Siano gli integrali inferiori di p dx estesi ai campi A, B, e A -{- B. 
Dico che la somma dei due primi è eguale al terzo. 
Infatti, si decomponga il campo A -j- B in parti, in modo qua 
lunque. Una qualunque di queste parti, che indicheremo con (A + B)* 
si può decomporre in due A»- e Bl’ima appartenente al campo A, 
e l’altra al campo B, badando che di queste due parti una può 
anche mancare. Si calcoli la somma s* corrispondente a questa di 
visione; detto p/ un numero minore dei valori di p nel campo 
(A -j- B)j = Ai -f- B,, si avrà 
s' = 2 pù ¿r(A t - -j- B») = 2 P^' ¿r(A¿) -j - 2 P'i ¿r(Bj). 
* i i 
Ora pù è minore dei valori di p sia nel campo A» che nel campo 
Bv ; quindi sarà : 
2 PÙ x(Ai) < | A p dx, e 2 p'i £C(B,) < | B p dx ;