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coll’intervallo descritto da x, e per ogni valore di x esiste il rap- 
porto questo rapporto è funzione continua di x. 
una quantità tale che : 1° sia maggiore della somma dei prodotti 
delle ampiezze degli intervalli parziali in cui si può dividere l’in 
tervallo {a, b) per valori minori dei valori assunti da f{x) negli 
stessi intervalli ; 2° sia minore della somma dei prodotti delle am 
piezze degli intervalli in cui si può decomporre (a, b) per valori 
maggiori di quelli assunti da f(x) negli stessi intervalli ; 3° e che 
sia l’unica quantità che soddisfi a queste proprietà. 
La funzione f(x) si dice integrabile nell’intervallo (a, b) se esiste 
una quantità che goda di tutte le proprietà enunciate. 
Sia dalla teoria precedente degli integrali geometrici, sia da pro 
posizioni dimostrate nel calcolo integrale (N. 190-193) si deduce: 
I. L’integrale di f[x) dx preso nell’intervallo (a, b) è la somma 
degli integrali di f(x) dx presi negli intervalli in cui si può decom 
porre l’intervallo (a, b): 
j b f(x) dx — j a ° f(x) dx -f- \ b f(x) dx. 
In altre parole, l’integrale di f(oc) dx preso in un intervallo (a, b) 
è coesistente con questo intervallo. 
IL Se f(x) è funzione continua di x, il rapporto dell’integrale 
di f{pc)dx esteso ad un intervallo qualunque (a, b), all’ampiezza 
b — a di questo intervallo, ove a e b tendano ad uno stesso valore x, 
ha per limite f(x): 
lim — = f(x). 
b — a v ' 
III. Se y è una grandezza coesistente coll’intervallo descritto