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Pkauo, Geom. lnfin. 
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dalla variabile x, e se il rapporto ~ del valore Ay di y corrispon- 
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dente ad un intervallo qualunque, all’ampiezza Ax di questo intervallo, 
tende al limite —■ = f{x), ove i limiti di quell’intervallo tendano 
ad x, il valore di y corrispondente all’intervallo finito {a, li) vale 
In questa proposizione sta la regola più comune per calcolare un 
integrale definito. Se f(x) è funzione continua, si determini, colle 
regole del calcolo integrale, quella funzione P {x) avente per deri 
vata f{pc). Allora il rapporto fra l’incremento di F(a?) in un inter 
vallo qualunque all’ampiezza di questo intervallo, col tendere degli 
estremi di questo intervallo ad uno stesso valore x, ha per limite 
f(x); quindi l’incremento diF(a?) nell’intervallo (a, &) è eguale al 
l’integrale di f(oc) dx preso in quell’intervallo : 
F (b) — F (a) = j a b f(x) dx. 
5. Calcolo di alcune aree piane. 
26. Coordinate cartesiane. 
Teorema! — Seia funzione positiva f(x) è integrabile 
nell’intervallo (a, &), l’area descritta dall’ordinata MP 
d’un punto P della curva, la cui equazione in assi car 
tesiani ortogonali è y = f(x), mentre l’ascissa x varia 
da «a & > a, è misurata da 
Infatti, decomposto l’intervallo (a, &) in parti coi valori x 0 = a 
x v x v ... x n -1, x n — &, e detti y\y\ ... y\ dei numeri minori 
dei valori assunti da f{x) rispettivamente in ciascheduno di quegli 
intervalli parziali, e detti y’\ y \ ... y" n dei numeri maggiori 'dei