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Invero, se la funzione f{x) ha derivata seconda f"(x) pei valori di 
x compresi fra a e &, si ha dalla teoria delle funzioni interpolari 
che 
f(x) = f{a) + {oc — a) f{a, &) + (a? — a) {x — V) 
ove f{a, &) = e« è un valore, che dipende da x, e che, 
se x è compreso fra a e &, è pure compreso fra gli stessi limiti. 
Quindi 
J f{x) dx = j f{a) + {oc — a) ^ dx + 
i r b 
+ y ) (¿r — a) (¿r — b) f"(u) dx. 
a t 
Il primo integrale del membro di destra vale appunto 
(6 _«/_№>, 
ossia il valore approssimato dell’integrale dato. Il secondo integrale 
rappresenta perciò l’errore che si commette prendendo invece del 
vero valore dell’integrale, il suo valore approssimato. Chiamandolo 
R, si avrà: 
l ' b 
R = -g- j (x — a) (x —1>) f" (u) dx. 
a 
E poiché il fattore {x — a) {x — ìf) conserva un segno costante 
mentre x varia nell’intervallo [{a, h), potremo portare il fattore 
f" {u) fuori dell’integrale, e si ha così : 
1 f b 
R = g- f" (u) j (x — a) {x — b) dx,