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L’integrale che qui comparisce si può scrivere 
t= jf. v \/ l + 7 
dy ; 
quindi, integrando per parti e prendendo come fattore da integrarsi 
y dy, si ha, dopo alcune riduzioni, 
e infine 
, “£' /vt + v ' + • 
-io g v+^z±Z- 
2p - ■ ~ * p 
Sia, più generalmente, la parabola di equazione in assi ortogonali 
y = aoc m . 
Si avrà dy — max m ~ x dx, e sostituendo in ds = /dx* -f- dy 4 si ha 
ds = /1 -f- m i o}x’ l{ ~ m ~ b dx. 
Il differenziale che qui comparisce è un differenziale binomio. 
Esso è integrabile, sotto forma finita, tutte le volte che è intero 
1 11 
uno dei numeri — ^ e — - + vale a dire quando m 
2 [m — 1) 2 (m — 1) 2 
i I 1 
ha la forma m = ove i sia un intero qualunque. Attribuendo 
l 
2 3 4 
ad ii valori 1, 2, 3, ..., si hanno per m i valori -j, -g-, g-, • • • ; ed 
attribuendo ad i i valori — 2, — 3, ... si hanno per m i valori 
1 2 
—, -g-, ... reciproci dei precedenti ; ma le due serie di parabole 
così ottenute si scambiano l’una nell’altra scambiando gli assi fra 
loro.