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Se si conviene di contare l’arco a partire dall’origine, supposto 
m > 0, si ha 
,X X 
s = ( |/l + m?a 2 x 2 ( m -v dx = f x m ~ x \/x— 2 ( m -i) -f m 2 a 2 dx ; 
A A 
integrando per parti, essendo x m ~ x dx il fattore ad integrarsi, si ha 
X , 
s — —- y i _|_ m ì a ì x z ( m — 1 ) 
m — 1 
X 
dx 
0 f/i -f- m i a}x^ m ~ v > 
La parte integrata, che si può scrivere ^ [—¡^ + {ax m f, rap 
presenta la lunghezza TP della tangente all’arco nel suo estremo P, 
cioè la porzione di tangente compresa fra il punto P, e il suo punto 
d’incontro T coll’asse delle x. 
43. Ellisse. — Se si fa 
x~a seni, y = b cosi, 
variando t, il punto P, le cui coordinate cartesiane ortogonali siano 
x e y descrive, come è noto, un’ellisse, i cui semiassi sono diretti 
secondo gli assi cartesiani, e valgono a e ì). 
Differenziando si ha 
dx = a cosi dt, dy = — & seni dt, 
quindi 
ed 
ds = /dx 1 * -f- dy 2 = o? cos 3 1 -j— & 2 sen 3 i dt, 
s = /a 2 cos 3 1 -f- & 3 sen 3 1 dt. 
Se l’integrale si prende fra i limiti 0 e il punto P descrive