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un quadrante di ellisse. Perciò la lunghezza E dell’intiero perimetro 
dell’ellisse vale 
TT 
(1) E = 4 ( 2 ^a} cos 5 i -|- ò 2 sen 3 i dt 
J 0 
L’integrale che qui comparisce non si può calcolare sotto forma 
finita colle funzioni algebriche o trascendenti elementari. Lo calco 
leremo per approssimazione. 
Supposto a > &, pongasi nell’espressione di E invece di cos 2 1 il 
suo valore 1 — sen 2 L e facciasi —— = e 2 , sicché il numero e è 
’ or 
l’eccentricità dell’ellisse. Si avrà : 
TT 
E = 4a i 2 /1 — e 2 senH dt ; 
* ; 0 
l’integrale di destra dicesi, con Legendre, integrale ellittico completo 
di seconda specie. Noi lo svilupperemo in serie. Perciò si ha dalla 
formola del binomio 
\/ì — e 2 sen 2 1 = (1 — e 2 sen 5 tf = 1 e 1 senH — 
- gì; «*sen>< - ™ e'seirt - e’senH -... ; 
e la formola è valida qualunque sia t, perchè, essendo e 2 < i e 
sen 2 i < 1, sarà pure c 2 sen 2 i < 1. Inoltre la serie di destra è di 
convergenza equabile, perchè i termini di essa sono rispettivamente 
minori, in valore assoluto, di quello che diventerebbero ove si fa 
cesse seni = 1, i quali termini sono indipendenti da t e formano 
una serie convergente. Quindi, moltiplicando per dt ed integrando, 
si ha 
TT 
2 
L o 
sen 2 i dt — ~e‘ 
£ . 4 
J 
'2 
sen 4 idt■ 
E = \a