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Siano ¿e e y le coordinate cartesiane ortogonali d’un punto P 
nel piano, e siano r ed a le coordinate polari d’un altro punto Q ; 
suppongasi che x, y, r, a siano funzioni d’una stessa variabile t, e 
tali da soddisfare alle equazioni 
dr = dx, rda = dy. 
Detti s ed s' gli archi descritti da P e Q mentre t varia in un 
intervallo qualunque, si avrà 
ds — ]/dx* -)- di/, ds r = \Zdr* -j- r* da}, 
ed a causa delle equazioni precedenti ds = ds\ e s — s\ ossia gli 
archi corrispondenti delle due curve sono eguali. 
Dalle equazioni precedenti, dati x ed y, si possono ricavare r ed a, 
e viceversa 
Facciasi p. e. y=^~, onde dy = Le equazioni precedenti 
diventano 
dr = dx, r da = 
P 
la prima equazione è soddisfatta ponendo r = x; allora la seconda 
diventa da = ^ la quale è ¡soddisfatta facendo r =pa. Quindi le 
curve x* — 2py (parabola conica) e r—pa (spirale d’Archimede) 
sono tali che se un punto P, di ascissa x, descrive un arco della 
prima, ed un punto Q di raggio vettore r = x descrive un arco 
della seconda, i due archi sono eguali in lunghezza. 
§ 9. Formule generali per le aree. 
47. Teorema.— Se le posizioni dei due punti AeB nel 
piano sono funzioni d’una stessa variabile numerica