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^spondenti della curva, siano G il centro e R il raggio del cerchio 
passante per essi. Pongasi 
F(0 = GP 1 —R 5 . 
Sarà F(t) una funzione di t positiva, o nulla, o negativa, secon- 
dochè il punto P è esterno, o sopra, o interno al cerchio di centro 
Gl e di raggio R. Derivando si ha 
-|-F'(0 = CPXu, yP"(i) = CPXi+u’. 
Ora, poiché i punti P t P 2 P 3 stanno sul cerchio, sarà 
F(O = 0, F(ì 5 ) = 0, F(ì 3 ) = 0. 
Quindi, pel teorema di Rolle, esisteranno due valori t' e t" medii 
fra i, t % t 3 per cui F'(£') = 0 e F'(O = 0, ed un valore t'" com 
preso fra i precedenti, per cui 
= 0. 
Si passi al limite, facendo tendere t { t 3 t 3 verso uno stesso valore t. 
Le equazioni F(*,) = = F'{t') — F'(t") =: F"(t m ) = 0, cui 
soddisfanno il centro G e il raggio R del cerchio considerato, di 
ventano 
F(0 = 0, F'(0 = 0, F"(t) — 0, 
cui debbono soddisfare i limiti di G ed R, cioè il centro ed il raggio 
del cerchio osculatore. Queste sono le tre equazioni che si volevano 
dimostrare. 
Corollario I. — Le equazioni precedenti sono facili ad interpre 
tarsi. La prima dice che R=$ r rPC. La seconda CP X u = 0, dice 
che il centro G del cerchio osculatore è sulla normale alla curva.