Full text: Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale

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Detta v„ la proiezione di v sulla normale alla curva, si è trovato 
Si moltiplichino il numeratore e il denominatore di questa frazione 
per gru. Osservando che gru.grvn misura l’area del parallelo- 
grammo u. v, la cui base è appunto u, e la cui altezza è v M , la for 
mula precedente diventa 
Se x ed y sono le coordinate cartesiane ortogonali del punto P, 
dette a e p quelle del centro di curvatura G, si avrà 
F (t) = (x — a y + {y — f3) 2 — R 5 
e le equazioni (2), F(T) = 0, F'(i) = 0, F"(i) = 0 diventano 
l (x — a) 1 -j- (y — P) 2 = R 5 
(6) < (x — a)dx 4- (y — $)dy = 0 
(x — a)ó?x -\-(y — $)d‘ 2 y -f- dx 2 + dy 1 — 0 
le quali equazioni sono identiche alle (3) sviluppate. Dalle ultime 
due di queste tre equazioni si possono ricavare le coordinate ae p 
del centro di curvatura, e si ha 
(7) o. — x — dy 
dx 2 + dy- 
$=y + dx 
dx 1 + dy 1 
dxd 2 y — dyd 2 x’ 
dxd 2 y — dyd 2 x 
e sostituendo nella prima si ricava, dopo brevi calcoli 
3 
{dx 2 + dy 2 ) 2 
(8)
	        
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