— 270 —
Detta v„ la proiezione di v sulla normale alla curva, si è trovato
Si moltiplichino il numeratore e il denominatore di questa frazione
per gru. Osservando che gru.grvn misura l’area del parallelo-
grammo u. v, la cui base è appunto u, e la cui altezza è v M , la for
mula precedente diventa
Se x ed y sono le coordinate cartesiane ortogonali del punto P,
dette a e p quelle del centro di curvatura G, si avrà
F (t) = (x — a y + {y — f3) 2 — R 5
e le equazioni (2), F(T) = 0, F'(i) = 0, F"(i) = 0 diventano
l (x — a) 1 -j- (y — P) 2 = R 5
(6) < (x — a)dx 4- (y — $)dy = 0
(x — a)ó?x -\-(y — $)d‘ 2 y -f- dx 2 + dy 1 — 0
le quali equazioni sono identiche alle (3) sviluppate. Dalle ultime
due di queste tre equazioni si possono ricavare le coordinate ae p
del centro di curvatura, e si ha
(7) o. — x — dy
dx 2 + dy-
$=y + dx
dx 1 + dy 1
dxd 2 y — dyd 2 x’
dxd 2 y — dyd 2 x
e sostituendo nella prima si ricava, dopo brevi calcoli
3
{dx 2 + dy 2 ) 2
(8)