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Se si fa ruotare la figura PUVW attorno a P d’un angolo retto, 
i segmenti PU e PY vengono a coincidere in direzione con AP e 
BP, e la nuova direzione di PW è normale alla curva; si deduce 
così una costruzione della normale alquanto più semplice di quella 
della tangente. 
6° La retta l passa pel punto variabile P, ed è paral 
lela ad una retta fissa m. Conoscendo la derivata di P, 
trovare la polare di l in un suo punto qualunque. 
Sia PU la derivata di P; siano A e B due punti fìssi su m. Si 
faccia PQ == AB. Sarà Q un punto di l. Essendo 0 un’origine arbi 
traria, si avrà PQ = OQ — OP, e quindi OQ = OP + AB. Si derivi 
questa equipollenza; osservando che la derivata di OP è PU, detta 
QY la derivata di Q, si deduce QV = PU ; quindi la parallela alla 
l condotta per V è la polare cercata. Si osservi che la retta UV 
è appunto questa polare, ossia una retta che si sposta conservan 
dosi sempre parallela ad una retta fissa ha la medesima polare in 
tutti i suoi punti. 
15. Inviluppi di rette nel piano. La posizione della retta l 
nel piano sia funzione della variabile t. Variando t, la l assume 
infinite posizioni, il cui insieme determina un inviluppo. Per bre 
vità diremo punto di contatto della retta coll’inviluppo il punto 
d’incontro della retta colla successiva, e diremo normale all’invi 
luppo della retta l la perpendicolare alla retta nel suo punto di 
contatto coll’inviluppo. Così, se le rette del sistema inviluppano una 
vera curva, queste espressioni riacquistano i soliti significati; ma 
se p. e. la retta ruota attorno ad un punto fisso, il punto di con 
tatto della retta coll’inviluppo sarà il punto fisso, e la normale al 
l’inviluppo sarà la perpendicolare alla retta variabile nel punto 
fisso. Due rette consecutive l ed V del sistema hanno due bisse- 
trici; ed è chiaro che, col tendere di 1' ad l, una ha per limite 
la l stessa, e l’altra bissetrice ha per limite la normale all’invi 
luppo della l; quindi la normale all’inviluppo della retta l è il