j.k k.i i.j 
— xz')k.i == x y z 
x' y' z' 
oordinate di a e di b, e 
piani coordinati. 
ezza, giacitura, e senso, 
;on a.l il volume del so* 
si muove conservandosi 
percorra tutti i punti di 
illelepipedo compreso da 
;essa retta non si ha a 
.ndezza e senso, e come 
non si ha a considerare 
non avremo a conside- 
ìquipollenti, se oltre al- 
sso senso, ossia se tras- 
i piani delle aree a e p, 
nso, i due solidi trovansi 
te del piano delle aree, 
allenti; mentrechè b.a.c, 
ma di senso opposto ai 
ìa di più volumi, e per 
— 25 — 
Teorema. Il volume a.(a-f-b) è eguale alla somma dei 
volumi a.a e a.b; cioè 
a.(a -f- b) = a.a -f- a.b. 
Invero, sia OA = a, e AB = b ; per A si conduca il piano parallelo 
ad a, che incontri OB in A'. Il volume generato 
da OA è eguale a quello generato da OA', perchè 
prismi aventi la stessa base, e compresi fra piani 
paralleli; e per la stessa ragione, il volume ge 
nerato da AB è eguale al volume generato da 
A'B. Ma il volume generato da OA' più il volume 
generato da A'B è il volume generato da OB, dunque 
a.OA -|- a.AB = a.OB , c. v. d. 
Quindi si deduce, che se a, b, c sono somme geometriche di più 
segmenti, il volume a.b.c è la somma di tutti i volumi ottenuti 
combinando una componente di a con una componente di b e con 
una componente di c. 
23. Si riferiscano i segmenti dati a tre segmenti i, j, k, e sia 
assa^i-j-yj + ^k, b = ¿r 2 i -f y 2 j + * 2 k, c == x z i -j-y 3 j + £ 3 k; 
e si calcoli il volume 
a.b.c — (fljji + yj + * t k).(a? 8 i + Vj + *Js)-{xj + Vj + ^ k )- 
Sviluppando il membro di destra, e tenendo conto che ogni volume 
compreso fra tre dei segmenti i j k, di cui due siano ripetuti, è nullo, 
e che i volumi compresi fra i segmenti distinti i, j, k, sono tutti eguali 
a meno del segno, e valgono +i.j.k, secondochè per passare da 
questa scrittura alla precedente occorre un numero pari o dispari 
d’inversioni delle lettere i j k, si deduce che a.b.c è uguale ad i.j.k 
moltiplicato per un polinonio di cui tutti i termini sono della forma 
± ocaypZ v ove a, p, y sono una permutazione degli indici 1, 2, 3, e 
che il segno è -{- o —, secondochè la permutazione è di classe pari