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rivate n me delle
Poiché questo ha le derivate successive fino all’ordine n, lo stesso
avverrà delle sue coordinate x, y, z.
Ora si sa che, se f(t) è funzione avente le successive derivate
fino all’ordine n, posto
m+h)=ra)+£ ni)+...+~ [nw+1],
¡0, di lunghezza
l’angolo a, che
•ivata è un seg-
aesto un angolo
il numero e ha per limite zero col tendere di h a zero (*).
(*) Questa formula si può considerare come compresa in quella del N. 67
), Y). E la deri-
del Calcolo differenziale, ove si supponga 1’esistenza e la continuità della derivata
ad a' e ad a, e
itti. Yale a dire
d’ordine n + 1 nell’intervallo (t, t + h). Invero paragonando la formula sopra
scritta colla
f(i + h) = f(t) + hf>(t) +... + -^ />> (t) + fi-+d(ì + eh),
si ricava
^aridezza ai pre
cetti, e quindi è
€= ^Ti / ' ln+lì ( i + 04 >’
e quindi, facendo tendere h a zero, lime — 0.
varii valori alla
stesso passano
zioni numeriche,
igionamenti ana-
ìste mediante le
Ma la formula in questione si può pure dimostrare senza fare nuove suppo-
zioni, cioè senza supporre 1’esistenza della derivata n a per valori di t diversi
da quello considerato, e tanto meno la sua continuità, l’esistenza della derivata
d’ordine n + 1, e la continuità di questa. Invero, da essa si ricava
f( t + h) - f[t)- hf'(t) - ~ f"(t) -... - fi"> (0
Y*»
quella di Taylor,
n!
ove il numeratore ed il denominatore sono funzioni di h che si annullano in-
ne di t, avente
deriv ate fino
sieme alle loro derivate l a , 2 a ,... (n — l) ma per h = 0; il numeratore ha ancora
nulla la derivata « a , mentre quella del denominatore vale 1; quindi (Cale,
differ. N. 124), lime — 0.
Se si fa n = 1, la formula diventa
.a(»)(i) -f- tj >
f(t+ h) =>f(t) -h [f'(t) + e] , con lime — 0,
che è la definizione deila derivata. La formula generale si può anche ottenere
re di /« a 0.
segmento a (t).
da questa leggendo fi- — 1 ) (t) invece di f(t), ed integrando rispetto ad h, fra
0 ed A, » — 1 volte. (Vedi Cale, differ., Annotazioni pag. XIX).
Pkano, Geom. lnfin. 4
