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unto P 0 il 
un altro 
che unisce 
e con questa 
la direzione 
ni retta pas- 
Queste rette 
ite; e questo 
o piano non 
Le suoi punti 
suo limite è 
d’una retta 
P 0 e P sono 
perpendicolare 
hio, è la metà 
di P a P 0 
te al cerchio 
va a questo 
pel cerchio, 
le colla retta 
, ma definita 
ve si conosca 
del seguente 
vata u = PU non nulla, la retta indefinita PU è la tangente 
alla curva descritta da P. 
Infatti, dati a t i valori t e e detti P e P' i punti corri 
spondenti della curva, si faccia PQ == PP r : h. Il punto Q è un punto 
della retta PP\ Facciasi tendere h a zero. Il segmento PQ ha per 
limite la derivata PU per definizione; quindi il punto Q ha per limite 
U, e la retta PP'Q, che unisce i punti P e Q aventi per limiti i 
punti P ed U non coincidenti, ha per limite la retta PU (Cap. I, 
5, teor. II), ossia PU è la tangente alla linea in P. 
Teorema II. — Se il punto P è funzione di t avente de 
rivata prima continua e non nulla, la tangente in P è 
anche il limite della congiungente due punti P 4 P 2 della 
linea, quando questi tendano al punto P. 
Invero, sia 0 un’origine fissa, e pongasi OP = a(/). Sarà OP* = 
»&), OP 2 = a(4), PiP 2 = a(i g ) — a(f t ). 
p p 
Pongasi P 4 Q = —= a(¿ 4 , t 2 ). Si facciano ora tendere e t t a t; 
h h 
si ha limPjQ = lim a {t i t z ) = a'(t) = PU derivata del punto P; e 
poiché Pj ha per limite P, Q ha per limite U, e la retta P^Q ha 
per limite la retta PU, cioè la tangente alla curva. 
4. Se M è un punto della tangente alla curva in P, e questo 
punto ha derivata u non nulla, le direzioni di u, e di MP coinci 
dono,, e quindi è nulla l’area u.MP. Viceversa, se quest’area è nulla, 
MP ha la direzione di u, ed il punto M si trova sulla tangente. 
Dunque l’equazione della tangente, colla notazione dei segmenti, è 
u.PM = 0. 
Se M è un punto della normale, o del piano normale alla curva 
in P, sarà MP normale ad u, e quindi l’equazione della normale, 
o del piano normale, è 
ente deri- 
u X MP = 0,