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di t avente le successive derivate; si è supposto inoltre die attri 
buendo a t due valori distinti qualunque, almeno in un certo inter 
vallo, P assumesse pure posizioni distinte. Ma se il punto P, variando 
t, viene a prendere più volte una stessa posizione, questa posizione 
si dirà un punto multiplo della curva, e potrà essere un punto 
doppio, triplo, ecc., secondochè P passa due, tre, ecc., volte per 
quella stessa posizione. Altre singolarità può presentare la linea, 
ove il punto variabile P non abbia derivate. 
9. Se l’area u.v compresa fra le derivate prima e seconda del 
punto P non è nulla, le derivate u e v di P sono nè nulle nè coin 
cidenti in direzione ; quindi questo punto è un punto ordinario della 
curva che esso descrive. Pertanto il valore dell’area u.v può ser 
vire come criterio analitico per riconoscere i punti ordinarii. 
Quest’area si può pure considerare come un limite, come risulta 
dal teorema seguente: 
Teorema. — Se il punto P è funzione di t avente le de 
rivate u e v continue, e se, P 4 P 2 P 3 sono tre punti della 
curva, corrispondenti ai valori t t t 2 t 3 della variabile t, 
l’area del triangolo P i P 2 P 3 divisa pel numero (t 2 — t k ) 
(t 3 — t t ) (t 3 —1 2 ) ha per limite la quarta parte dell’area u.v 
lim 
P1P2P3 
(h ò) (h — h) (¿3 — h) 
1 
T u - v , 
ove i punti PiPgPg tendano ad una stessa posizione P. 
1 
Invero si ha P^Pg = y P 1 P 2 .P,P 3 . Sia 0 un punto fisso ad ar 
bitrio, e pongasi OP = a(i) ; sarà 
OP, = Siiti), OP 2 = a(ò 2 ), OP 3 = a(£ 3 ), 
a(h, t 2 ) s 
P1P2 
— tn 
a (A44) — 
a (^i> t 3 ) — 
a(^ 3 ) — a {tjt 2 ) 
f tn 
Pfp» 
A 1 A 3 
io — ti