Si calcoli la differenza delle ordinate M'P' della curva, e M'Q 
della tangente corrispondenti ad una stessa ascissa OM' —x-\-fi. 
Si ha per l’ordinata della curva 
M'P' = f[a> + h) = f{x) + hf\x) + [f"(x) + e] , 
ove lime — O, per h — Qr, l’ordinata M'Q della tangente è data dalla 
(&), ove si faccia X=a?-j- h, e si ha 
M'Q = V + % h = m + hf(x) ; 
e sottraendo 
A 2 
M'P' — M'Q = — [f"{x) -f- e], (lim e = 0). 
Se ora f'\x) è positivo, si può supporre h sufScientemente pic- 
/¡2 
colo in modo che f"{pc) -j- e sia pure positivo, ed allora, poiché 
è sempre positivo, sarà M'P' — M'Q > 0, ossia l’ordinata M'P' della 
curva è maggiore dell’ordinata corrispondente M'Q della tangente, 
e la curva sta nelle vicinanze del punto P, da quella parte della 
tangente verso cui è rivolta la direzione positiva dell’asse della y\ 
in altre parole la curva rivolge la sua concavità verso la direzione 
positiva dell’asse delle y. La curva rivolgerebbe invece la sua con 
cavità dalla parte opposta, se f"(pc) è negativo. 
13. Parabole. — Si suol dare questo nome ad ogni curva la cui 
equazione in coordinate cartesiane si può mettere sotto la forma 
y = ax m , 
ove m è un esponente qualunque, intero o fratto o incommensu 
rabile, positivo o negativo, che dicesi anche ordine della parabola. 
Se m = 2, ovvero = — , la curva coincide colla parabola conica, 
il cui asse è oy nel primo caso, ed ox nel secondo. Per m= 1,