FONCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DI RI C H LE T i35 
2 et, pour volume T, l’intérieur de cette sphère. Mais, en chaque 
point de l’intérieur de la sphère, on a 
t> 
1! 
O 
donc 
f AVdz=0, 
par suite, 
* 
f ? dto = 0, 
J du 
et enfin 
f - 0. 
dr 
M est donc indépendant de r. Or, quand r tend vers zéro, les 
valeurs de Y sur la sphère tendent vers V 0 , l’intégrale f \ dco tend 
vers 4-r 2 V 0 et enfin M tend vers V 0 ; comme M est fixe, on doit 
constamment avoir M = V 0 . 
Le théorème de Gauss est donc démontré. 
61. Fonctions harmoniques. — On appelle fonction harmo 
nique, dans un domaine donné T, une fonction qui, dans ce 
domaine, possède les propriétés suivantes : 
1° Fdle est continue ; 
2° Ses dérivées premières existent et sont continues; 
3° Ses dérivées secondes existent et sont généralement conti 
nues, les discontinuités, s’il y en a, se trouvant sur des surfaces 
algébriques quelconques ; 
4° Elle satisfait à l’équation de Laplace : 
AV = 0. 
La fonction Y considérée au paragraphe précédent est une 
fonction harmonique. 
Voici une propriété importante de ces fonctions. Soient T un 
volume, S la surface qui le limite et V une fonction harmonique 
dans T. Puisqu’elle est continue, elle a un maximum qu’elle 
atteint pour un point du domaine. Je dis que ce point n’est pas à 
l’intérieur de T, mais sur S. Supposons, en effet, qu’il soit inté 
rieur à T ; on peut l’entourer d’une sphère, ayant ce point pour 
centre et tout entière intérieure à T. En tout point de la sphère,