FONCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRICIILET i4i 
face jusqu’à l’infini. On demande de trouver une fonction V satis 
faisant aux conditions suivantes : 
1° En tout point de l’espace considéré, la fonction Y est 
continue, ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres ; 
2° En tout point du même espace, elle satisfait à l’équation de 
Laplace : 
A Y = 0 ; 
3° Sur la surface S, elle se réduit à une fonction donnée U des 
coordonnées ; 
4° Elle s’annule à l’infini. 
On démontre, comme dans le cas du problème intérieur : 
I. Que, s’il y a une solution, il n’y en a qu’une ; 
II. Qu’il y en a toujours une. 
65. Extension au cas de deux variables. — J.es définitions et 
théorèmes qui précèdent s’étendent au cas de deux variables 
sans difficulté. 
La définition des fonctions harmoniques est la même ; il suffit 
de remplacer les mots volume et surface par aire plane et 
contour. 
Le théorème de Gauss pour une fonction harmonique devient : 
v. = -¿T f Vds ; 
— tWI t / 
la sphère a été remplacée par un cercle, sa surface par une 
circonférence, son aire 4Tir 2 par la longueur 2r:r de la circonfé 
rence, l’intégrale double j' Vdw par l’intégrale curviligne j Yds. 
Les remarques sur les limites supérieure et inférieure des fonc 
tions harmoniques se généralisent immédiatement et la modifica 
tion, dans chaque cas, pour transposer les énoncés, est évidente. 
Cependant les considérations faites dans le paragraphe 62 (II), 
îi propos des fonctions harmoniques à l’extérieur d'un domaine 
donné et à propos du potentiel newtonien, ne se généralisent pas. 
Cela tient à ce que le potentiel logarithmique ne s’annule pas 
;i l’infini comme le potentiel newtonien. 
Yoyons ce qui se passe, dans ce cas.