THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
Ce théorème constitue une forme nouvelle clu théorème de Green.
Il est clair que le théorème subsiste si Y désigne la somme
d’un potentiel et d’une fonction harmonique.
La formule précédente se modifie si U et Y désignent deux
potentiels. Soit p. la densité de la distribution des masses m qui
engendrent le potentiel U et soit p/ la densité de la distribution
des masses m 7 qui engendrent Y, on a :
Ces deux théorèmes s’étendent au potentiel logarithmique dans
le plan.
69. Cela posé, considérons toujours le même volume T limité
par S. Soient YI (fig. 44) un point variable
de S et M' un point fixe non situé sur S.
i M Enfin, soit U une fonction harmonique dans
T ; posons
MM' = r
et considérons l’intégrale double étendue à
la surface S :
\
■)
r dn dn
Si le point M est extérieur à la surface S, on a :
Si au contraire M' est intérieur à S et si U' est la valeur de U
en ce point, on a :
r dn
1 dU
U. —r^~ dw = 4 tcU 7 .
dn