FONCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRICHLET i55
*
m
Pour cola, reportons-nous à une formule démontrée au para
graphe 68 : si U et Y désignent deux potentiels newtoniens dus,
le premier à une distribution m de masses, le deuxième à une
distribution m', on a :
X( V ^ UJ a^-)= 4
Cette formule s’applique encore si U et Y désignent l’un et
l’autre la somme d’un potentiel et d’une fonction harmonique.
Or, ce dernier cas est précisément le cas de G' et G" ; G' est la
somme d’une fonction harmonique II' et d’un potentiel du à une
masse -f- 1 placée au point M'; G" est la somme d une fonction
harmonique II" et d’un potentiel dû à une masse-f-1 placée au
point M". On a donc :
-» / AC" AC' \
J ( g 'tïï G "^) dw = 4 *[ G '' (M ')- G '( M ">]-
Mais la fonction G s’annule sur S ; G' et G sont donc nul]es
dans cette intégrale de surface et le premier membre est nul ; le
second doit l’être aussi et l’on conclut :
G / (M /, ) = G ,/ (M')
c’est-à-dire
G (M", M') = G
et de même :
G (M, M') = G (M', M).
Le théorème annoncé est donc démontré. Cependant il faut
remarquer que cette démonstration n’est pas sans défaut : elle
suppose en effet qu’en chaque point de S, - ~- existe et est finie
et bien déterminée. Or G est égal à ll-|——et l’on sait, au
sujet de 11, seulement ceci, que l'on a :
Ali = 0 dans T
l
Il = —
sur S