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THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
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Cette démonstration repose, on le voit, sur celle du premier
cas; elle s’en déduit d’ailleurs rigoureusement; mais elle n’est
sans défaut que si la première est aussi sans défaut. J’ai indiqué
plus haut, à propos de celle-ci, la critique qui peut être
tlC
faite : elle est relative à la dérivée —=—- dont il aurait fallu au
du
préalable démontrer lexistence.
Il y a des cas cependant où l’on sait calculer la fonction de
Green et vérifier ainsi directement l’existence de .
dn
Un de ces cas est celui de la sphère ; nous allons le traiter
rapidement ii titre d’exemple. Occupons-nous d'abord du pro
blème intérieur.
Soient S une sphère, O son centre (fig. 48) et a son rayon. Soit
en outre M' un point intérieur ; nous voulons calculer la fonction
de Green relative à ce point.
A cet effet, menons le diamètre OM' et prenons sur ce dia
mètre le point M" conjugué du point M' par rapport à la sphère ;
enfin soit M un point intérieur quelconque et M, un point de la
surface ; menons les droites OM n MM', MM", MjM', MjM" et
posons :
MM' = r M,M' = r, OM = p.
MM" = 1*' MjM":
On a
OM'. OM" = a 5
d’où
OM'