1° La fonction de Green est constamment positive dans le 
domaine T. 
Faisons cette démonstration dans le cas d’un volume T limité. 
On a : 
1 
Lorsque r tend vers zéro, II reste liai, donc G reste éga 
lement fini, (rG—1) tend alors vers zéro et rG tend vers 1. Ainsi, 
quand r est très petit, le produit rG est très voisin de 1 ; on peut 
donc affirmer qu’au voisinage du point de discontinuité la fonc 
tion G est positive. Entourons alors ce point d’une sphère très 
petite ï. Entre 2 et S, on aAG=0; sur S, G est nulle et sur S' 
elle est >0 ; donc entre S et S, G est partout >0. Ainsi en tout 
point de T, G est positive. 
2° On a constamment dans le volume T. 
On a ellet G = JI —| ; or, dans T, Il satisfait à l'équation de 
Laplace; de plus on a 11 = — et par suite H<0 sur toute la 
surface S ; si donc T est le volume contenu à l’intérieur de S et 
limité par cette surface, on a en tout 
point de T 
G < 
1 
*'ig. 49- 
Gettc propriété ainsi que la précé 
dente s’étendent sans peine au cas où 
le domaine T est constitué par l’espace 
extérieur à une surface fermée S. 
3° Soient encore (fig. 49) un domaine T 
limité par une surface S, et un autre plus grand Tj limité par une 
surface Sj et contenant le premier. Soit M 7 un point intérieur 
à T ; appelons G la fonction de Green relative i» T et au point ML 
On a : 
G = H -j — •