FONCTION DE GREEN ET PROBLEME DE DIRICHLET î6i
Appelons Gj la fonction de Green relative it T, et an même point
M' ; on a :
Je dis qu’en tout point M intérieur it T on a :
Gj> G.
En effet, en tout point intérieur à T, ou a :
G—G 1 = II —I l x .
Or nous savons que G, est >0 dans T t ; on a donc:
H.+— >o.
r
et par suite
en tout point de Tj et en particulier en tout point de S.
Considérons alors la fonction 11 — Il ( ; elle satisfait dans T it
l’équation de Laplace et reste négative sur S; elle est donc néga
tive en tout point de T.
Bref, ii l’intérieur de T, on
a H — IIjCO et par consé
quent G, — G>0, d’où:
G, > G.
4° Soit maintenant(fig. 50)
une surface fermée S. Consi
dérons le domaine T exté
rieur à cette surface ; dans
ce domaine, considérons un
volume T, limité par une sur
lace Sj.
Soit maintenant M/ un point du domaine T, ; appelons G la
fonction de Green relative ii T et au point M 7 et G, la fonction de
Green relative il T, et au meme point M'.
Poincaré. Potent. Newt.