Mais cette expression a une valeur fixe, elle est donc néces 
sairement nulle et l’on a Lien 
G'(M") = G"(M'). 
Le théorème annoncé est démontré. 
75. Problème de Green. — Problème de Dirichlet transformé. — 
Comparaison avec le problème de Dirichlet ordinaire. — Équiva 
lence de ces trois problèmes. — L’énoncé du problème de Diri 
chlet ordinaire a été donné plus haut (,64). Voici l’énoncé du pro 
blème de Green. 
Plaçons-nous dans l’espace à trois dimensions. 
Soit un volume 1’ limité par une surface fermée S : calculer la 
fonction de Green relative à ce volume et ii un quelconque de 
ses points. 
Ainsi énoncé, le problème de Green peut être appelé pro 
blème intérieur de Green; mais, comme pour le problème de 
Dirichlet, on peut énoncer un problème extérieur de Green. 
Dans tout ce qui va suivre, nous ne nous occuperons que des 
problèmes intérieurs ; les mêmes considérations s’appliqueront 
aux problèmes extérieurs. 
On peut montrer facilement l’équivalence du problème de 
Green et du problème de Dirichlet. 
Soit U la fonction qui doit satisfaire à l’équation de Laplace 
dans T et dont il s’agit de déterminer les valeurs dans T par ses 
valeurs sur S. Sa valeur U' en un point M' de T est donnée par la 
formule suivante 
4-U dL ” d( " 
dn 
U 
dn 
cio». 
L’intégrale double du second membre est étendue à la surface S ; 
G est la fonction de Green relative an point M' et à T. Cette for 
mule se déduit de l’intégrale (6) du paragraphe 69 en rem 
plaçant le potentiel — par la somme G du potentiel — et de la