RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET 
Remplaçons ; il vient : 
(p - n ) ? p+n ~ 1 jT E) x » x P d °-=°- 
Donc, si n -=j=. p, on a : 
c’est-à-dire : 
fx n X D sin OdOdcs = 0. 
JT 1 * 
11 est clair que cela n’est plus vrai si n = p. 
Supposons maintenant qu’il y ait deux développements pos 
sibles pour une fonction Y harmonique entre deux sphères con 
centriques S 0 et S,. Posons : 
Notre hypothèse implique qu’on puisse écrire : 
£Y„ = 0 
en retranchant l'un de l’autre terme à terme les deux développe 
ments distincts de la même fonction. Or je dis que cette consé 
quence est absurde. En effet, nous savons que la série 2Y n est 
uniformément convergente comme étant la différence de séries 
qui le sont. Multiplions alors les deux membres de l’égalité : 
2Y n =0 
par Y p et intégrons sur la sphère N. On a : 
ZX Y " Y " ilî+ X) YV,i=ü 
en permutant les signes N et j , comme cela est permis à cause 
de l’uniformité de la convergence. Dans l’égalité précédente, le 
signe N ne porte que sur les termes pour lesquels on a : 
n^p. 
Mais 
aïs on a :