THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
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Quant aux dérivées, elles sont nulles à l’intérieur comme à l’exté 
rieur et n’éprouvent donc aucune discontinuité quand le point M 
franchit la surface. 
Le problème est ainsi complètement résolu, dans le cas où la 
densité est constante, en ce qui concerne les surfaces fermées ; 
passons au cas d’une surface quelconque. 
102. Soit (fig. 76) S une double couche quelconque limitée 
par une courbe C ; cette surface S, ayant deux côtés, on peut en 
tracer une deuxième S ; , limitée à la même courbe C et telle que 
l’ensemble de ces deux surfaces constitue une surface fermée. Tra 
çons donc S' et supposons que cette 
surface porte une double couche dont 
l’épaisseur #t la densité soient les mêmes 
que celles de la double couche donnée. 
Appelons Y le potentiel de S, Y' celui 
de S ; et W celui de la surface fermée ; 
on a : 
w— Y + V'. 
Considérons alors deux points Y, 
et M 2 situés de part et d’autre de S et 
très voisins l’un de l’autre ; puis désignons par W p Y,, Y',, les 
valeurs des trois fonctions considérées en et par W 2 , Y 2 , Y', 
leurs valeurs en M 2 ; on a : 
= Yj H- Y', 
W 2 = V 2 + Y',, 
d’où : 
(1) Wj — W 2 —(V 2 - Yj)+ (Y', —Y',). 
W désignant le potentiel d’une double couche répandue sur une 
surface fermée, on sait, d’après ce qui précède, que l’on a : 
W t —W 2 =±4-;Y. 
De plus, les points et M 2 n’étant pas situés au voisinage 
de S', la fonction V' est continue en ces points et la différence 
\\ — V' 8 est infiniment petite ; l’égalité (1) devient donc : 
Vj — V 2 = ± 4-0.'.