г étant un nombre positif donné aussi petit que l’on voudra.
En vertu de l’inégalité (2), à laquelle DW 0 satisfait aussi, on
peut choisir p assez petit pour que l’on ait ii la fois :
I DW' I < 4.
et par conséquent :
|d\v'—dw;|<
p étant ainsi fixé, les domaines S'et S' sont bien délimités et l’on
peut prendre le point M assez voisin de M 0 pour que l’on ait :
|DW" — DWé'l c
3
Cela est possible car, le point M 0 étant extérieur à S', la fonc
tion W" est holomorphe au voisinage de ce point.
La position de M étant ainsi choisie, on a :
I DW — DW 0 1 < s.
11 est ainsi démontré que la fonction DW tend vers la valeur
DW 0 qu’elle a au point M 0 , quand M tend vers ce point, et cela,
quel que soit le chemin suivi. Cette fonction reste donc continue
quand on franchit la surface.
Si une fonction co satisfaisant à une inégalité de la forme :
* O
<
к
T.'“
est dite cVordre n, le théorème précédent pourra s’exprimer
ainsi : quand on franchit la surface, une dérivée DW reste con
tinue si la fonction sons le signe j est d’ordre 1.