DOUBLES COUCHES
■j. 11
Je vais démontrer les propositions suivantes :
i° Quand on franchit la surface, les dérivées premières de W
restent continues.
2° Au contraire, les dérivées secondes éprouvent des disconti
nuités, sauf si la densité au point où l’on traverse la surface,
est nulle.
108. Occupons-nous d’abord des dérivées premières.
ÙW , „ . , . r
w
/
Y 1 1 \
-G
II
X
V r * r ri )
C’est un produit de deux facteurs; le premier, 0/, est d’ordre
zéro. Montrons que le second est d’ordre i. On peut l’écrire :
(i)'
x) ('■'
,, 2,,/2
Cette expression est la somme de trois termes. Le premier
fxU
est évidemment d’ordre 1; en effet :
r' — r est d’ordre
enfin —y est d’ordre 3; le produit
est d’ordre 0; de plus
(x ; — x) (r'
est donc
1‘" ‘ rr'
d’ordre 1.
Il en est de même pour les deux autres termes de l’expression
l) et l’on voit bien que es est d’ordre 1. La dérivée est donc
Ox
continue quand 011 traverse la surface et cela est vrai quelle que
soit la valeur de la densité au point où l’on franchit cette surface.
r , 1. . ,. + ,, ÔW m
La meme démonstration s etend a et et la propo-
oy Oz 11
sition annoncée pour les dérivées premières est entièrement
prouvée.
Poixcaré. Potent. Ncwt. i(;