THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
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109. P assons maintenant an cas des dérivées secondes. Nous
démontrerons simplement ceci : Si la densité p/ u au point NI 0 où
l’on traverse la surface est nulle, les dérivées secondes restent
continues.
Considérons l’une d’elles, v , par exemple ; la fonction
t)x
sous le signe j est :
La densité u/ 0 au point M 0 étant nulle et possédant des dérivées
des deux premiers ordres, la fonction p/ est d’ordre — 1 au
voisinage de ce point. Montrons que la quantité entre crochets
est d’ordre 2. On a :
On a aussi :
1
r' — r)
1
r r
La quantité entre crochets considérée peut donc s’écrire :
1 1.1. 1
3 (x'_xr-;V —1
r 5 r' l‘V 2 1‘V 3 l* 2 r /4 ri
-(r'-r
ér)
/ 1
1
1
1
\ r 3 r'
r 2 r 2 1
rr' 3
ou encore :
(3).
ym
X - I r — r
— XJ’l
V
■V v'
r p,.'q
avec les relations
m -f- n = 6
p + q = 4.