DOUBLES COUCHES 2/ t 3
Chacune des sommes de l’expression (3) est d’ordre 2; en effet,
un terme quelconque de la première est de la forme :
3(x'-x) 2 (C — r)
( X X ) , <
Ce terme est d’ordre 2 car 1° est d'ordre m + n — 2=4;
2° (r 7 — r) est d’ordre — 2 puisque l’on a :
I r — r' | < t!
et que v! est d’ordre — 2 ; l’expression (4) est donc d’ordre
4 — 2 = 2.
Bref, la première somme de l’expression (3) est d’ordre 2 ; la
seconde est d’ailleurs aussi d’ordre 2 car tout terme de la forme
-—-—est d’ordre p -j-q — 2, c’est-à-dire dans le cas présent
4 — 2 = 2.
Ainsi l’expression (3) est d’ordre 2, la fonction cp est donc
0 ^ w
d’ordre — 1+2 = 1 et par conséquent la dérivée - ■—est con
tinue.
Le même raisonnement s’applique aux autres dérivées secondes
de W et la propriété annoncée est donc démontrée ; les dérivées
secondes de W restent continues quand on franchit la surface en
un point il/ 0 ou la densité est nulle.
110. Re venons alors aux potentiels U et U 7 considérés au para
graphe 106 et supposons nulle la densité au point M 0 oà l’on fran
chit la surface. Nous avions posé :
U = W+U 7 .
La fonction W considérée dans cette relation est précisément
celle que nous venons d’étudier et, par suite, les dérivées
secondes de U, quand on franchit la surface au point M 0 éprou
vent les mêmes discontinuités que celles de U 7 puisque celles
de W restent continues.
Or U 7 est le potentiel cl’une surface plane attirante sur laquelle