RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DI IIICI1 LE T 
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sph(‘ rcs, l’une contenant M 0 et M p l’autre contenant et M, et 
toutes deux contenues dans T. Alors, en vertu de la remarque 
que nous venons de faire, la convergence de la série : 
SVi 
en M 0 entraîne sa convergence en et celle-ci il son tour 
entraîne la convergence en M. La proposition énoncée est donc 
encore vérifiée. 
En général, à cause de la connexion du domaine T, on peut 
tracer un chemin continu allant de M 0 en M sans sortir de T. Sili 
ce chemin, il est manifeste que l’on peut trouver un nombre 
limité de points (fig. 84) : 
M ü M 1 M 2 ...M n M n + 1 ...M 
tels qu’il y ait toujours une sphère contenue dans T et contenant 
à son intérieur deux points consécutifs M n et M n + 1 . La démons 
tration du théorème en question peut alors se faire de proche en 
proche. La série : 
ZVi 
est convergente en M 0 ; donc elle l’est en \I p comme on le voit 
en considérant la première sphère. La convergence en M, 
entraîne la convergence en M a , comme on le voit en considérant 
la deuxième sphère. En général, la convergence en M n entraîne 
la convergence en M n + 1 , comme on le voit en considérant la 
(n -f- I e ) sphère. 11 est clair qu’après un nombre limité d’opéra 
tions on sera assuré de la convergence en M. 
C. Q. F. D. 
128. Voici une importante application des théorèmes précé 
dents. 
Soit un domaine T limité par une surface fermée S. 
Considérons une fonction Ф définie et continue en tout point 
de S. Nous regarderons cette fonction comme donnée. De plus 
nous supposerons qu’elle est positive et non nulle en tout point 
de S. 
Cela posé, traçons une sphère ü assez grande pour contenir 
toute la surface S à son intérieur. O11 peut toujours imaginer une