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THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
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l'onction U définie et continue dans Q, positive et non nulle dans 
le même domaine, prenant enfin les valeurs d» sur S. 
Donnons-nous maintenant une suite de nombres positifs : 
£ £ £ . £ 
12 3* * П * ’ ‘ 
tels que la série : 
soit convergente. On sait qu’il est possible de construire 
suite de fonctions : 
P P P P 
A i *- a А о • • • A 11 
une 
définies dans 0 et holomorphes en tout point de ce domaine, de 
telle façon que l’on ait : 
0 < P„ < £ n 
pour toutes les valeurs de l'indice n et que la somme de la série 
absolument et uniformément convergente : 
O 
Pi ~r~ P 2 + • • • + P n + 
soit la (onction U donnée. On peut, par exemple, s’arranger de 
manière que les fonctions P; soient des polynômes entiers 
en x, y, z. 
Supposons alors que l’on sache, pour toutes les valeurs de 
l’indice n, former une fonction Y n harmonique dans T et prenant 
sur S les mêmes valeurs que P„. On a : 
0<V B <e n . 
Donc la série : 
Л , + \ 2 + ... Y n -|- ..., 
dont tous les termes sont des fonctions harmoniques et positives 
dans T, est absolument et uniformément convergente en tout 
point de T. En vertu du théorème de Harnack, nous concluons 
de là que la somme Y de la série précédente est une fonction 
harmonique dans T prenant sur S les valeurs Ф. 
Nous voyous par là que l’on saura résoudre le problème de 
Dinchlet dans le cas le plus général dès qu’on saura le résoudre 
en supposant que la fonction cherchée prenne sur S les mêmes 
valeurs qu’un polynôme donné.