Remarque. — Nous avons supposé pour plus cle simplicité, 
dans la démonstration précédente, que la (onction donnée $ était 
positive et non nulle en tout point de S. On peut toujours se 
placer dans ce cas pour résoudre le problème de Dirichlet. 
En eiïèt supposons que ( I> ait un signe quelconque. Posons : 
(M=C le ) 
On peut toujours écrire : 
<I> — M —(M — <ï>). 
On a : 
- <I>>(). 
Soit A' une fonction harmonique dans T prenant sur S les 
valeurs Al — f I> : nous admettons qu'on peut la déterminer. Cela 
posé, il est clair (pie la fonction : 
M — Y 
est harmonique dans T et prend sur S les valeurs <1>. 
129. Méthode du balayage. — Proposons-nous de construire 
une fonction Y harmonique dans un domaine T limité par une 
surface fermée S et prenant sur S les mêmes valeurs qu'un 
polynôme donné P. 
Commençons par tracer une sphère ü contenant à son intérieur 
tout le domaine T. 
Cela posé, il est possible de trouver une infinité de sphères üj 
formant une suite à indices entiers positifs et jouissant des pro 
priétés suivantes : 
1° Chacune des sphères üj est tout entière intérieure à T. 
2° Tout point de T est intérieur à l’une au moins des 
sphères Î2;. 
Concevons, en effet, une succession de nombres positifs : 
O p 0 2 ,... Oj,... 
décroissants et tendant vers zéro. Imaginons maintenant une série 
O 
de régions : 
îW-'Ko-.. 
s’enveloppant mutuellement et tendant à se confondre avec T.