3o8
THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
11 n’est pas possible de trouver une double couche portée par S
dont le potentiel W coïncide avec la fonction —à l’extérieur
de S. En effet, W étant un potentiel de double couche, on
aurait :
lim pW — 0,
?-« k
et, d’autre part, W coïncidant avec — , on devrait avoir :
1 P
k
lim f = oo pW = 1,
ce qui est contradictoire.
i
Désignons par <!>' l’ensemble des valeurs de sur S. 11
p
existe une fonction W harmonique dans T et se réduisant ii — ( I>
sur S : c’est précisément la
fonction — . Cette fonction,
0
k
nous venons de le voir, ne
peut être regardée comme un
potentiel de double couche.
Mais il est certain que c’est
le potentiel d’une simple cou
che portée par S : cette sim
ple couche est d’ailleurs la
couche équivalente provenant
du balayage d’une masse + i
placée en O.
Cela posé, appelons C la constante que l’on peut former avec
( I>' comme on a formé la constante C avec ( I>. On a évidemment :
C'=£0,
sans quoi W 7 serait un potentiel de double couche.
Posons :
(1)" = (I> -f- ad)'
a étant une constante laissée indéterminée pour le moment. A la
Ionction ( I>" définie sur S est attachée une nouvelle constante C"
qui est liée aux précédentes par la relation :
C" = C-4-aC'