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! (p-2k-HXm-2k+l) _ (p-2k) Çm-2k)
' m ak m ak+1
(p-3k-f-l) 3il (m-k+l) s Q (p-3k) (m-k+l)’(m-k) (p-Sk-O^On-k-flXm-k) 2
m 3k ° l 3 ' 1 m 3k+l *~ ô l 3 ' 1 m 3k+a
u. s. w.
Durch Benutzung der Gleichungen 16 und 17 ergibt sich die
Wahrscheinlichkeit, dafs hintereinander k Kugeln in der Reihenfolge der
Zahlen wenigstens r mal, oder wenigstens r mal und höchstens s mal
erscheinen werden. Wird nur eine Gruppe von den in 1 bezeichneten
herausgehoben, so wird m-k+1 = 1, und m—k, m—2k-j-l,.... geht in
o über. Dann ergibt sich folgende Gleichung aus 18
,0. w _ p±h _ ü^k+ÜÜ 1 + Cp- 3k +i) 311 _
J j^2|l ' pl 1 JQ 31t
Sie bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dafs k bestimmte Kugeln in
der Reihenfolge der Zahlen^ oder was dasselbe ist, überhaupt in einer
bestimmten Ordnung wenigstens einmal in p Ziehungen erscheinen wer
den, wenn unter den obigen Bedingungen aus der Urne gezogen wird. >
Wird k n m in 18 oder 19 gesetzt, so ergibt sich die Wahrscheinlich
keit, dafs alle Kugeln in einer bestimmten Ordnung erscheinen werden.
2m w _ P-m+1 _ Cp-2m+l) a|1 , (p-3m-fl) 311 _ *
^ jpni ^211 j^2in "T* *1 ^ 11
Die Versetzungen mit Wiederholungen aus r Elementen-Reihen, von
denen jede m verschiedene Elemente zählt, werden zur p ten Klasse ge
bildet. Wie grofs ist die Zahl der Gruppen, worin k Elemente in der
Ordnung ihrer Stellenzahlen hintereinander erscheinen?
* Dieser besondere Fall (20) des oben vorgelegten allgemeinen Problems, der
sich ans den unter a, b, c, gemachten Bemerkungen auf eine ganz einfache
Weise ableitet, wurde von Laplace in dem Vllten Bande der Mémoires de Mathém.
et Phys, présent, à l’Académ. roy. d. Sciences 1773 (Probl. XII) mittelst Integra
tion endlicher Differenzialgleichungen und von J. Trembley im lOten Hefte des
Archivs der r. und a. Mathem. v. Hindenburg (1799) mittelst der Methode der wie
derkehrenden Reihen, mit Darlegung grosser Gewandtheit im hohem Calcul, entwi
ckelt. Die Vergleichung der hier gegebenen Resultate mit den dort mitgetheilten, dürfte
zeigen, dass in vielen Fällen die Combinationen Mittel bieten, die Probleme nicht
nur allgemeiner, sondern auch einfacher zu behandeln.
