ABELSCHE INTEGRALE. ABELSGHER SATZ. 
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mit zwischen 
.bhängig von 
venn man an 
r z + fj statt 
ld t 1 werden; 
le « — 1, so 
änige von N r 
t x — 1 setzen, 
tor im Zähler 
än wir az + £, 
ür a wählen, 
ch die Trans- 
bringt es mit 
ept sind, 
ehenden Inte- 
ganze Funk- 
s»- 1 enthält. Der vom Bruche subtrahierte Teil ist eine ratio 
nale Funktion von z, die durch Integration nur algebraische 
Funktionen und Logarithmen einführen kann. 
Wir dividieren nun den Zähler durch Z 1 und erhalten da 
durch eine ganze Funktion vom Grade n — 3 und einen Rest, 
der in Bezug auf s höchstens vom Grade n — 2 ist, und in Bezug 
auf 0 von niedrigerem Grade als Z v Wenn wir die einzelnen 
Glieder des Restes durch Z x dividieren, so erhalten wir als 
Koefficienten zu den Potenzen von s rationale Brüche in 0, die 
auf die gewöhnliche Weise zerlegt werden. Hat Z 1 keine gleich 
grossen Faktoren, so ergiebt die Zerlegung Brüche mit Nennern 
von der Form z — a. Sind gleich grosse Faktoren vorhanden, 
so erhält man Brüche mit Nennern von der Form (z— a,y. 
Diese lassen sich aus den ersten durch Differentiation mit Bezug 
auf a bilden, wenn a als variabler Parameter genommen wird. 
Wir sehen also, dass ausser Integralen von rationalen Funk 
tionen und Integralen die sich aus anderen durch Differentia 
tion mit Bezug auf einen Parameter bilden lassen, nur noch 
zwei Arten derselben zu untersuchen übrig bleiben, nämlich 
Multiplicaren 
(«) 
f* U dz 
\ óf 
■, dass wir es 
und 
J ÖS 
am haben, so 
P Q dz 
■ die Funktion 
\z - a) 
wo U und Q ganze Funktionen von s und z sind, beziehungs 
weise von den Graden n — 3 und n — 2. Der Faktor z—a 
kann in besonderen Fällen fortfallen, nämlich wenn die Gerade 
;• ist als der- z — a in die unendlich ferne Gerade übergegangen ist. Wir 
f— 0 können betrachten die dadurch entstehende Form als unter (ß) gehörig 
löheren Expo- ohne sie der früher angegebenen Transformation zu unterwerfen. 
Zähler ^ ^ aS Negral logarithmisch unendlich in den 
Punkten ist, in denen z — a die Kurve schneidet, so kann es 
nktion von Zf Integrale erster Gattung nur unter den ersten geben; da diese 
iffen, welches wegen des Grades des Zählers nur existieren können für w>3,