ABELSCHE INTEGRALE. ABELSCHER SATZ.
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ist sowohl ^.= 0 als ~ = 0, und die Reihenentwickelung be
ginnt mit Gliedern von der Form
\U> ( s — s 1 Y + ^c(s — s 1 ) (z—z 1 ) + d(z—z 1 Y] + .
woraus hervorgeht, dass 0—z 1 und s — s } proportional sind;
da nun
?£=b(s—s 1 ) + c(z—z 1 ) + ...,
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so sind auch und z—z 1 proportional. Da der Zähler aber
in der Regel nicht proportional z—z x ist, so wird das Integral
im allgemeinen in einem Doppelpunkte der Kurve logarithmisch
unendlich; ist der Doppelpunkt eine Spitze, so zeigt eine ähn
liche Untersuchung, dass das Integral dort algebraisch unend
lich wird wie
A(z — z 1 ) i + B (z — z$ +...
Wird jedoch für den betrachteten Punkt der Zähler gleich Null,
oder mit anderen Worten, geht die Kurve 17=0 durch den
Doppelpunkt oder die Spitze, so ist der Zähler in der Nähe
dieses Punktes dem Ausdruck 0—z x proportional, und das Inte
gral ist endlich in der Nähe des Punktes. Hieraus ergiebt
sich, dass die Bedingung dafür, dass das Integral von erster
Gattung ist, darin besteht, dass die Kurve U=0 durch alle
Doppelpunkte und Spitzen der Kurve f=0 geht. Von solchen
giebt es U—— ; — p, wo p das Geschlecht der Kurve be
deutet. Soll 17=0 durch alle diese Punkte gehen, so wird
die Anzahl der beliebigen Koefficienten reduciert auf
n(n—3) (n—l)(n-2)
Auf einer Kurve vom Geschlechte p giebt es also p von
einander linear unabhängige Integrale erster Gattung.
Wir bestimmen nun, um die fehlenden speciellen Integrale
zu bilden, die Kurve 77=0 so, dass sie durch alle Spitzen und
Doppelpunkte, mit Ausnahme eines einzigen geht. Sie ist da-