ABELSCHE INTEGRALE. ABELSCHER SATZ. 
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iden Be- 
dadurch 
Doppel- 
so viele 
Spitzen 
Punkten 
den un- 
sich und 
dagegen 
um zwei 
bilden, 
andere 
icn. 
Spitzen 
rale, und 
Gliedern 
war, wie 
lr müssen 
schneidet 
Es lässt 
jrch n— 2 
itzen, und 
Dadurch 
Punkten 
Integrale 
die n— 1 
erhalten 
ben, aber 
y—a auf 
unter («) 
t, so wird 
e übrigen 
d Spitzen 
n und sie 
in diesem 
Falle unter die Form (a), so dass man die zu dieser Form 
gehörenden Integrale dritter Gattung als besondere Fälle der zu (p) 
gehörigen betrachten kann. Integrale dritter Gattung, die nur 
in zwei getrennten oder Zusammenfall enden Punkten unendlich 
werden, heissen wie früher bemerkt Normalintegrale. Die zu 
sammenfallenden Punkte sind getrennt im Riemannschen Sinne. 
43. Nun wollen wir die früher ausgeführte Umformung 
auf die Integrale (a) anwenden. 
Dadurch erhalten wir 
1 V dz 
'Ai,Edj 
, Z'N 
8f 
Hier sind in dem ersten Integral U, dz und -I beziehungsweise 
von den Graden n—3, 1 und n—1, der Ausdruck unter dem 
Integralzeichen also vom Grade —1. Dasselbe muss dann vom 
Ausdruck unter dem anderen Integralzeichen gelten, und da dl 
nach dem Ausdruck für F vom Grade Null ist, so muss der 
Zähler des Bruches vom Grade 2mn — 3 sein; aber diesen Fall 
haben wir eben untersucht und V—0 gefunden. Wir müssen 
jedoch im Auge behalten, dass nach unserer Voraussetzung 
S — 0 und Z— 0 keine gleichen Wurzeln haben, dass also das 
Kurvenbüschel F = 0 keinen Grundpunkt in einem Doppelpunkt 
oder einer Spitze hat. Diese Bedingung können wir indessen 
fortfallen lassen, wenn das Integral in einem solchen Grund 
punkt nicht unendlich ist, denn der Fall lässt sich dann als 
Grenzfall betrachten. Folglich: 
Für alle unter («) gehörenden Integrale ist die Abelsclie 
Integralsumme Null, vorausgesetzt, dass die beivegliclie Kurve 
keinen festen Punkt in einem Doppelpunkte oder in einer Spitze 
hat, in dem das gegebene Integral unendlich wird. 
Wir wollen z. B. f=0 die Gleichung des Blattes von Des- 
cartes sein lassen. Da die Kurve von dritter Ordnung ist, so 
ist U konstant. Die bewegliche Kurve ist eine Gerade, und so 
lange diese in zwei oder drei beweglichen Punkten schneidet, 
ist die Integralsumme Null. Das ist dagegen nicht der Fall, 
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