UNENDLICHE REIHEN UND PRODUKTE.
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;ten Fak-
Lse um P
• Modulus
)der ohne
woraus hervorgeht, dass Io. zwischen endliche positive Grenzen
eingeschlossen, also konvergent ist. Ist das Produkt divergent
und bis ins Unendliche wachsend, so kann a H nicht gegen Null
abnehmen und die Reihe Io. ist deshalb auch divergent; das
selbe gilt, wenn das Produkt oscillierend ist; nehmen o n und
;ige Kon-
mit einer
euchtend,
ärgenz ist,
konvergent
mt ist.
n ersten
n ersten
ti n gegen Null ab, so muss das Produkt der reciproken Werte
der Faktoren bis ins Unendliche wachsen, und da, für 2a n <. \ r
1 „ 0
i <C 1 + 2a n ,
1 —On
so muss 12, a n und also auch Ia n divergieren. Demgemäss ist
die letzte Reihe immer divergent, wenn das Produkt diver
gent ist.
70. Das unendliche Produkt aus komplexen Faktoren
17(1+a H ), ist unbedingt konvergent, wenn I\a\ konvergent ist.
Hieraus folgt nämlich, dass die unendlichen Produkte
onvergent
la es nun
Grenzwert
lukt ohne
77(1—10*1) und 77(1+ a„) konvergent sind; nun ist
1 — 1 &n 1 <C 1 1 + <C 1 + j<+|,
und der Modulus des gegebenen Produktes fällt deshalb zwi
schen endliche Grenzen; dasselbe gilt, wenn wir von den Moduln
;inem ge-
:ind. Wir
des Produktes nur diejenigen mitnehmen, die grösser als 1 sind,
oder nur diejenigen, die kleiner als 1 sind. Von den beiden
dadurch gebildeten Produkten ist das eine stetig wachsend,
das andere stetig abnehmend; jedes von ihnen muss deshalb
einen von der Reihenfolge der Faktoren unabhängigen be
stimmten Wert haben: das gegebene Produkt hat also einen
bestimmten endlichen, von der Reihenfolge der Faktoren un
abhängigen Modulus.
■, da sein
für hin
niit wach-
weise nie-
ie Nenner
raus folgt
Es ist noch übrig zu beweisen, dass die Summe der Argu
mente der Faktoren unbedingt kon-
vergentist. Für kl eine Werte von o n —/\
ist das Argument des entsprechen- 0 L / j
den Faktors gleich oder kleiner als \ J
der Winkel von der Linie 1 bis an ^^
die Tangente, die vom Nullpunkte an den kleinen Kreis mit dem
Mittelpunkt im Punkte 1 und dem Radius \a n \ gezogen ist,
10*
