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ERSTER ABSCHNITT. KAPITEL VIII. 
Funktionen, die eindeutig und stetig in der ganzen Ebene 
sind und im Punkte oo einen wesentlich singulären Punkt 
haben, heissen ganze transcendente Funktionen; sie lassen sich 
wie die obengenannten in Potenzreihen entwickeln, die für die 
ganze Ebene gelten. 
Die Funktionen l{\-\-z), arcsin« und arctg« haben sin 
guläre Punkte beziehungsweise in — 1, +1 und ±_ i. Die Reihen 
arc tg« = « — + v- K.., 
o O 
• • ? 
gelten deshalb nur in einem Kreise mit dem Mittelpunkt im 
Nullpunkte und dem Radius 1. 
DIE LAURENTSCHE REIHE. 
75. Eine Funktion sei eindeutig und stetig innerhalb einer 
gewissen Kreisperipherie, deren Mittelpunkt in a liegt; eine Aus 
nahme wird von einem einzelnen Punkte b gebildet, in dem 
die Funktion unstetig ist; diesen Punkt schliessen wir mit Hülfe 
eines kleinen Kreises aus; dann können wir Cauchys Integral 
zur Restimmung der Funktion anwenden. Das Flächenstück 
ist nun jedoch von zwei Randkurven begrenzt, und das Inte 
gral muss längs diesen beiden in positiver Richtung geführt 
werden. Was den äusseren Kreis betrifft, so können wir wie 
1 
bei Taylors Formel verfahren, indem wir - - in einer kon 
vergenten Reihe nach Potenzen von t — a entwickeln. Dadurch 
erhalten wir eine Reihe von der Form 
(6) 
a 0 + a 1 {t — a) + a 2 (t — af+ . . ., 
deren Koefficienten bestimmt werden durch 
i c mdz 
2 n i ) (z ff)-2 3 + 1 ’ 
f(z) dz 
(7)