CAUCHYS INTEGRAL. REIHENENTWICKELUNGEN. 
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wo das Integral in positiver Richtung längs dem äusseren Kreise 
zu führen ist. Da diese Integrale nicht über die ganze Be 
grenzung geführt werden, so lassen sie sich nicht wie bei 
Taylors Formel durch die abgeleiteten Funktionen ausdrücken. 
Zugleich haben wir das Integral längs dem kleinen Kreise 
zu führen; da wir dabei beständig 
t—b\> \z —b 
haben, so müssen wir hier eine andere Reihenentwickelung 
benutzen; wir setzen 
1 
V—t 
z — b 
t—b 
+ 
Q —bf 
(t-bf + 
und erhalten dadurch eine Reihe 
(8) ft (*-*)-* + ft (t- ¿)~ 2 + ft (* - ¿)- 3 + • • •, 
worin 
(9) ß p = ~ jj (z — by-i f{z) dz; 
dieses Integral ist, da wir das Vorzeichen verändert haben, in 
positiver Richtung um den Punkt b zu nehmen. Sind mehr 
Unstetigkeitspunkte vorhanden, so wird jeder von diesen eine 
neue, der ersten analoge Reihe mit sich führen. 
Ist der Punkt b ein Pol, so wird, wie bald gezeigt werden 
soll, (z—b)vf(z) für einen gewissen Wert von p und alle 
grösseren Werte im Punkte b nicht unendlich, und die ent 
sprechenden Integrale werden Null. Die b entsprechende Reihe 
wird also endlich. Ist b ein wesentlich singulärer Punkt, so 
wird die Reihe immer unendlich. 
Wäre für f{z) eine Entwickelung von der angegebenen 
Form gegeben, so würden, bei Anwendung von (7) oder (9) 
alle Glieder von f(z) dem Integral den Wert Null erteilen, mit 
Ausnahme des einen, das den Exponenten p oder —p hat. 
Es existiert deshalb keine andere Reihenentwickelung von der 
selben Form. 
Ist die Funktion eindeutig und stetig in einem Kreisringe, 
wobei der Nullpunkt der gemeinsame Mittelpunkt der beiden